问题驱动探究与交流--刘进全

                        问题驱动探索与交流------

                                        从一节高三数阵复习课说起

                                                  刘进全

新课程理念下,如何使高三数学课堂教学更加有效, 是广大一线教师探讨的热点话题之一. 高考数学又是以能力“立意”, 强调学生能力考查, 能力立意已是高考命题的主旋律, 学生的能力有从什么地方进行培养, 怎样以数学知识为载体, 立足基础问题, 关注学生对数学对象的本质和规律进行探究, 从而促进每个学生的发展和数学能力的提高, 提升对数学知识的理解与应用. 高三数学课的授课方式直接影响着学生学习的效果. 现在较流行的高三复习课模式是:小题回顾(知识归纳)-典型例题(例题示范)-反馈练习(课堂巩固), 这种学习方式仍然是模仿式学习, 低估了学生的潜能, 不能更好体现能力立意的要求, 而新课程倡导积极主动, 勇于探索的学习方式. 学生学习的过程应该表现一种师生与生生之间探索与交流的过程, 在探索和交流过程中形成自己对数学知识的理解和掌握, 避免复习过程中形式单一, 充分调动学生的主动性、自主性和积极性.下面是笔者尝试运用问题驱动探索与交流的授课方式对数阵复习的一节课以及教后的思考, 愿与同行进行探讨.

一、案例再现

师:前面我们已经研究自然数1, 2, 3…的通项与求和问题, 如果把它呈现的结构加以改变, 重新如图1排列, 请问此数阵有哪些规律?

生1: 数阵成等腰三角形.

生2: 每行数的个数分别是自然数1, 2, 3…

生3: 每行是公差为1的等差数列.

……

(学生的积极性激发, 主动参与)

师: 请观察这个数阵, 告诉我你最关心这个数阵的哪些问题?

生4: 第100行的第一个数和最后一个数?

生5: 第 行的第一个数和最后一个数?

生6: 第 行的各个数之和是多少?

生7: 第2010行第100个数是多少?

生8: 2010在第几行第几个数……

师: 这些问题问得非常好, 如何解决这些问题, 关键是什么?

学生思考片刻……

生9: 关键是每一行的第一个数或最后一个数, 也就是三角数阵腰上的数?

师: 如何求腰上的数组成的数列通项, 如1, 3, 6, 10, 15……

生10: 这个数列满足“差成等差”的性质, 即 , 叠加得:

生11: 第 行的最后一个数正好等于前 行数的个数, 所以 .

师:很好, 值得注意的是数列“差成等差”性质, 实际上, 若

,可称数列 为一阶等差, 我们可以如下定义:

若 ,且 为等差数列, 则称 为二阶等差, 请你类比等比数列, 写出类似的命题?

生12: 若 ,且 为等比数列, 则称 为二阶等比数列.

师: 如何求第 行的各个数之和?

生13: 第 行最后一项为 ,第 行首项为 , 末项 , 用首、末项之和成以项数除以2.

生14: 不需要算首项, 根据 , 所以第 行各项项之和为: .

师: 如何求第 行的第100个数是多少?

生15: 即可.

师: 自然数 位于哪一行第几个数?

生16: 只需要求 的最大整数，估算 ，前62行有 ，2010-1953=57， 位于63行第57个数.

生17: 估算 ， 2010是倒数第7个数，所以 位于63行第57个数.

师：经过刚才这道题，把握解决数阵的关键，注意观察数阵是由什么样的数列或哪些数组成，寻找这些数列的递推关系或元素规律. 请你改变排列方式或构造方式，写出类似的数阵？

师：实际上只要构成的数为等差数列，我们都可以进行研究，课后请探究已知数列 为等差数列, 且公差为 , 按照图1的规则排成三角形数阵, 试求它第 行中各项和. 有些时候, 数阵需要你去构造, 如数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,

5,5,5,5,5,6…第1000项是几?

生20: 写成图5的形式, 只要能判断出第1000个数在第几行, 这个数就是几?

即求 的最大整数, 易得第1000个数45.

师：请同学们观察下列这个数阵(图6)与我们刚才研究的数阵(图5)有何异同?

师：其它元素呢?

生22: 其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和

师：我们可以研究哪些问题?

生23: 这个数阵第 行首项和末项都是 没有研究价值, 不过可以研究每行第2个数的通项.

师：怎么研究?

生23: 2, 4 ,7, 11…是一个二阶等差数列, 用叠加法, 很容易求解.

师：很好, 活学活用, 我们还关心什么问题?

生24: 第 行各数之和？

师：如何求解？

同学们都陷入了沉思之中……

生25: 把每行之和拿出来，我们可以得到数列：1，4，10，22…  发现每个数加上2后，新数列成等比数列，构造等比数列，第 行各数之和为 .

生26: 设第 行中各数之和为 , 注意到首项和末项为 ，其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和，  ，在构造等比数列求解.

 (以下省略)

二、案例反思

  反思1: 在新的课程标准是在以人为本的理念下, 要求学生转变学习方式, 在数学教于学的过程中, 师生应该是一种探索与交流的过程, 在探索和交流中形成自己对数学知识的理解和掌握, 从而获得数学能力. 探索和交流需要的是问题驱动, 问题驱动是开展有效教学一种重要策略, 问题是数学的心脏问题是数学发展的原始动力,数学的研究是由问题驱动的, 数学的学习要模拟数学研究, 所以数学的教学必须是问题驱动. 没有问题驱动, 在某种意义上讲, 就不可能激发学生的学习兴趣和探索的意识, 提出问题比解决问题更重要. 让学生自己发现和提出一点有价值问题, 然后问题驱动探索与交流, 有助于学生积极参与.

反思2: 数学教学的有效性在于学生能力的培养, 尤其学习的能力, 本节课中定义“二阶等差数列”的概念, 加以应用, 增加学生即时性学习、阅读、理解、迁移, 理解新信息的内涵, 运用新知识解决新知识, 并作形同质异的数阵进行研究, 增加课堂的有效性.

反思3: “推理与证明”是新增内容, 其中的类比推理是合情推理的一种重要形式, 所以在教学中有意识的培养学生类比的能力, 本节课中定义“二阶等差数列”的概念, 类比得到“二阶等比数列”相关概念, 这是概念的类比, 由三角数阵学生可以类比正方形数阵等这是形式的类比, 更深层次的类比是把处理特殊数阵的方法类比迁移到其它一般的数阵.

反思4: 增强学生对数据分析处理能力, 学会适当的估计, 如求 的最大整数.

参考文献

①中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2003